CHAPITRE VIII
« Division à l’infini »
ou divisibilité indéfinie

Pour Leibnitz, la matière est non seulement divisible, mais « sous-divisée actuellement sans fin » dans toutes ses parties, « chaque partie en parties, dont chacune a quelque mouvement propre »(1) ; et c’est surtout sur cette vue qu’il insiste pour appuyer théoriquement la conception que nous avons exposée en dernier lieu : « Il suit de la division actuelle que, dans une partie de la matière, si petite qu’elle soit, il y a comme un monde consistant en créatures innombrables »(2). Bernoulli admet également cette division actuelle de la matière « in partes numero infinitas », mais il en tire des conséquences que Leibnitz n’accepte pas : « Si un corps fini, dit-il, a des parties infinies en nombre, j’ai toujours cru et je crois même encore que la plus petite de ces parties doit avoir au tout un rapport inassignable ou infiniment petit »(3) ; à quoi Leibnitz répond : « Même si l’on accorde qu’il n’y a aucune portion de la matière qui ne soit actuellement divisée, on n’arrive cependant pas à des éléments insécables, ou à des parties plus petites que toutes les autres ou infiniment petites, mais seulement à des parties toujours plus petites, qui sont cependant des quantités ordinaires, de même que, en augmentant, on arrive à des quantités toujours plus grandes »(4). C’est donc l’existence des « minimæ portiones », ou des « derniers éléments », que Leibnitz conteste ; au contraire, pour Bernoulli, il semble clair que la division actuelle implique l’existence simultanée de tous les éléments, de même que, si une série « infinie » est donnée, tous les termes qui la constituent doivent être donnés simultanément, ce qui implique l’existence du « terminus infinitesimus ». Mais, pour Leibnitz, l’existence de ce terme n’est pas moins contradictoire que celle d’un « nombre infini » et la notion du plus petit des nombres, ou de la « fractio omnium infima », ne l’est pas moins que celle du plus grand des nombres ; ce qu’il considère comme l’« infinité » d’une série se caractérise par l’impossibilité de parvenir à un dernier terme, et de même la matière ne serait pas divisée « à l’infini » si cette division pouvait jamais s’achever et aboutir à des « derniers éléments » ; et ce n’est pas seulement que nous ne puissions pas parvenir en fait à ces derniers éléments, comme le concède Bernoulli, mais bien qu’ils ne doivent pas exister dans la nature. Il n’y a pas plus d’éléments corporels insécables, ou d’« atomes » au sens propre du mot, qu’il n’y a, dans l’ordre numérique, de fraction indivisible et qui ne puisse donner naissance à des fractions toujours plus petites, ou qu’il n’y a, dans l’ordre géométrique, d’élément linéaire qui ne puisse se partager en éléments plus petits.

Au fond, le sens dans lequel Leibnitz, en tout ceci, prend le mot « infini » est exactement celui où il parle, comme nous l’avons vu, d’une « multitude infinie » : pour lui, dire d’une série quelconque, aussi bien que de la suite des nombres entiers, qu’elle est infinie, c’est dire, non qu’elle doit aboutir à un « terminus infinitesimus » ou à un « nombre infini », mais au contraire qu’elle ne doit pas avoir de dernier terme, parce que les termes qu’elle comprend sont « plus quam numero designari possint », ou constituent une multitude qui surpasse tout nombre. De même, si l’on peut dire que la matière est divisée à l’infini, c’est parce que l’une quelconque de ses portions, si petite qu’elle soit, enveloppe toujours une telle multitude ; en d’autres termes, la matière n’a pas de « partes minimæ » ou d’éléments simples, elle est essentiellement un composé : « Il est vrai que les substances simples, c’est-à-dire qui ne sont pas des êtres par agrégation, sont véritablement indivisibles, mais elles sont immatérielles, et ne sont que principes d’action »(5). C’est dans le sens d’une multitude innombrable, qui est d’ailleurs le plus habituel chez Leibnitz, que l’idée du soi-disant infini peut s’appliquer à la matière, à l’étendue géométrique, et en général au continu, envisagé sous le rapport de sa composition ; du reste, ce sens n’est pas propre exclusivement à l’« infinitum continuum », il s’étend aussi à l’« infinitum discretum », comme nous l’avons vu par l’exemple de la multitude de tous les nombres et par celui des « séries infinies ». C’est pourquoi Leibnitz pouvait dire qu’une grandeur est infinie en ce qu’elle est « inépuisable », ce qui fait « qu’on peut toujours prendre une grandeur aussi petite qu’on veut » ; et « il demeure vrai par exemple que 2 est autant que ( 1 ) / 1 +  ( 1 ) / 2 +  ( 1 ) / 4 +  ( 1 ) / 8 +  ( 1 ) / 16 +  ( 1 ) / 32 + … etc., ce qui est une série infinie, dans laquelle toutes les fractions dont les numérateurs sont 1 et les dénominateurs de progression géométrique double sont comprises à la fois, quoiqu’on n’y emploie toujours que des nombres ordinaires, et quoiqu’on n’y fasse point entrer aucune fraction infiniment petite, ou dont le dénominateur soit un nombre infini »(6). De plus, ce qui vient d’être dit permet de comprendre comment Leibnitz, tout en affirmant que l’infini, dans le sens où il l’entend, n’est pas un tout, peut cependant appliquer cette idée au continu : un ensemble continu, comme un corps quelconque, constitue bien un tout, et même ce que nous avons appelé plus haut un tout véritable, logiquement antérieur à ses parties et indépendant de celles-ci, mais il est évidemment toujours fini comme tel ; ce n’est donc pas sous le rapport du tout que Leibnitz peut le dire infini, mais seulement sous le rapport des parties en lesquelles il est ou peut être divisé, et en tant que la multitude de ces parties surpasse effectivement tout nombre assignable : c’est là ce qu’on pourrait appeler une conception analytique de l’infini, due à ce que ce n’est, en effet, qu’analytiquement que la multitude dont il s’agit est inépuisable, ainsi que nous l’expliquerons plus loin.

Si maintenant nous nous demandons ce que vaut l’idée de la « division à l’infini », il faut reconnaître que, comme celle de la « multitude infinie », elle contient une certaine part de vérité, encore que la façon dont elle est exprimée soit loin d’être à l’abri de toute critique : tout d’abord, il va de soi que, d’après tout ce que nous avons exposé jusqu’ici, il ne peut aucunement être question de division à l’infini, mais seulement de division indéfinie ; d’autre part, il faut appliquer cette idée, non pas à la matière en général, ce qui n’a peut-être aucun sens, mais seulement aux corps, ou à la matière corporelle si l’on tient à parler ici de « matière » malgré l’extrême obscurité de cette notion et les multiples équivoques auxquelles elle donne lieu(7). En effet, c’est à l’étendue, et non à la matière, dans quelque acception qu’on l’entende, qu’appartient en propre la divisibilité, et on ne pourrait confondre ici l’une et l’autre qu’à la condition d’adopter la conception cartésienne qui fait consister essentiellement et uniquement la nature des corps dans l’étendue, conception que d’ailleurs Leibnitz n’admettait pas non plus ; si donc tout corps est nécessairement divisible, c’est parce qu’il est étendu, et non pas parce qu’il est matériel. Or, rappelons-le encore, l’étendue, étant quelque chose de déterminé, ne peut pas être infinie, et, dès lors, elle ne peut évidemment impliquer aucune possibilité qui soit infinie plus qu’elle ne l’est elle-même ; mais, comme la divisibilité est une qualité inhérente à la nature de l’étendue, sa limitation ne peut venir que de cette nature elle-même : tant qu’il y a de l’étendue, cette étendue est toujours divisible, et ainsi on peut considérer la divisibilité comme réellement indéfinie, son indéfinité étant d’ailleurs conditionnée par celle de l’étendue. Par suite, l’étendue, comme telle, ne peut pas être composée d’éléments indivisibles, car ces éléments, pour être vraiment indivisibles, devraient être inétendus, et une somme d’éléments inétendus ne peut jamais constituer une étendue, pas plus qu’une somme de zéros ne peut constituer un nombre ; c’est pourquoi, ainsi que nous l’avons expliqué ailleurs(8), les points ne sont pas des éléments ou des parties d’une ligne, et les vrais éléments linéaires sont toujours des distances entre des points, qui en sont seulement les extrémités. C’est d’ailleurs ainsi que Leibnitz lui-même envisageait les choses à cet égard, et ce qui fait précisément, suivant lui, la différence fondamentale entre sa méthode infinitésimale et la « méthode des indivisibles » de Cavalieri, c’est qu’il ne considère pas une ligne comme composée de points, ni une surface comme composée de lignes, ni un volume comme composé de surfaces : points, lignes et surfaces ne sont ici que des limites ou des extrémités, non des éléments constitutifs. Il est évident en effet que des points, multipliés par quelque quantité que ce soit, ne pourraient jamais produire une longueur, puisqu’ils sont rigoureusement nuls sous le rapport de la longueur ; les véritables éléments d’une grandeur doivent toujours être de même nature que cette grandeur, quoique incomparablement moindres : c’est ce qui n’a pas lieu avec les « indivisibles », et, d’autre part, c’est ce qui permet d’observer dans le calcul infinitésimal une certaine loi d’homogénéité qui suppose que les quantités ordinaires et les quantités infinitésimales des divers ordres, bien qu’incomparables entre elles, sont cependant des grandeurs de même espèce.

On peut dire encore, à ce point de vue, que la partie, quelle qu’elle soit, doit toujours conserver une certaine « homogénéité » ou conformité de nature avec le tout, du moins autant que l’on considère ce tout comme pouvant être reconstitué au moyen de ses parties par un procédé comparable à celui qui sert à la formation d’une somme arithmétique. Ceci ne veut d’ailleurs pas dire qu’il n’y ait rien de simple dans la réalité, car le composé peut être formé, à partir des éléments, d’une tout autre façon que celle-là ; mais alors, à vrai dire, ces éléments ne sont plus proprement des « parties », et, ainsi que le reconnaissait Leibnitz, ils ne peuvent aucunement être d’ordre corporel. Ce qui est certain, en effet, c’est qu’on ne peut pas arriver à des éléments simples, c’est-à-dire indivisibles, sans sortir de cette condition spéciale qu’est l’étendue, de sorte que celle-ci ne peut se résoudre en de tels éléments sans cesser d’être en tant qu’étendue. Il résulte immédiatement de là qu’il ne peut exister d’éléments corporels insécables, et que cette notion implique contradiction ; en effet, de semblables éléments devraient être inétendus, et alors ils ne seraient plus corporels, car, par définition même, qui dit corporel dit forcément étendu, bien que ce ne soit d’ailleurs pas là toute la nature des corps ; et ainsi, malgré toutes les réserves que nous devons faire sous d’autres rapports, Leibnitz a du moins entièrement raison contre l’atomisme.

Mais, jusqu’ici, nous n’avons parlé que de divisibilité, c’est-à-dire de possibilité de division ; faut-il aller plus loin et admettre avec Leibnitz une « division actuelle » ? Cette idée encore n’est pas exempte de contradiction, car elle revient à supposer un indéfini entièrement réalisé, et, par là, elle est contraire à la nature même de l’indéfini, qui est d’être toujours, comme nous l’avons dit, une possibilité en voie de développement, donc d’impliquer essentiellement quelque chose d’inachevé, de non encore complètement réalisé. Il n’y a d’ailleurs véritablement aucune raison de faire une telle supposition, car, quand nous sommes en présence d’un ensemble continu, c’est le tout qui nous est donné, mais les parties en lesquelles il peut être divisé ne nous sont pas données, et nous concevons seulement qu’il nous est possible de diviser ce tout en parties qui pourront être rendues de plus en plus petites, de façon à devenir moindres que n’importe quelle grandeur donnée pourvu que la division soit poussée assez loin ; en fait, c’est donc nous qui réaliserons les parties à mesure que nous effectuerons cette division. Ainsi ce qui nous dispense de supposer la « division actuelle », c’est la distinction que nous avons établie précédemment au sujet des différentes façons dont un tout peut être envisagé : un ensemble continu n’est pas le résultat des parties en lesquelles il est divisible, mais il en est au contraire indépendant, et, par suite, le fait qu’il nous est donné comme tout n’implique nullement l’existence actuelle de ces parties.

De même, à un autre point de vue, et en passant à la considération du discontinu, nous pouvons dire que, si une série numérique indéfinie nous est donnée, cela n’implique en aucune façon que tous les termes qu’elle comprend nous soient donnés distinctement, ce qui est une impossibilité par là même qu’elle est indéfinie ; en réalité, donner une telle série, c’est simplement donner la loi qui permet de calculer le terme occupant dans la série un rang déterminé et d’ailleurs quelconque(9). Si Leibnitz avait donné cette réponse à Bernoulli, leur discussion sur l’existence du « terminus infinitesimus » aurait immédiatement pris fin par là même ; mais il n’aurait pas pu répondre ainsi sans être amené logiquement à renoncer à son idée de la « division actuelle », à moins de nier toute corrélation entre le mode continu de la quantité et son mode discontinu.

Quoi qu’il en soit, pour ce qui est du continu tout au moins, c’est précisément dans l’« indistinction » des parties que nous pouvons voir la racine de l’idée de l’infini telle que la comprend Leibnitz, puisque, comme nous l’avons dit plus haut, cette idée comporte toujours pour lui une certaine part de confusion ; mais cette « indistinction », loin de supposer une division réalisée, tendrait au contraire à l’exclure, même à défaut des raisons tout à fait décisives que nous avons indiquées tout à l’heure. Donc, si la théorie de Leibnitz est juste en tant qu’elle s’oppose à l’atomisme, il faut par ailleurs, pour qu’elle corresponde à la vérité, la rectifier en remplaçant la « division de la matière à l’infini » par la « divisibilité indéfinie de l’étendue » ; c’est là, dans son expression la plus brève et la plus précise, le résultat auquel aboutissent en définitive toutes les considérations que nous venons d’exposer.